BAB I
LATAR BELAKANG
Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan.
Dalam mata kuliah metode numeric ada tugas membuat program untuk mencari akar-akar persamaan dengan metode metode yang sudah di ajarkan, oleh karna itu laporan ini di buat.
Latar belakang mempelajari akar- akar persamaan agar dapat mencari akar akar persamaan yang belum diketahui ,dengan mencapai hasil yang hampir eksak.
Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut
secara perkiraan hingga didapat hasil yang mendekati penyelesaian secara benar (eksak).
Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), maka tiap hasil
akan lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan berbagai iterasi yang dianggap cukup,
akan didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil yang benar (eksak) dengan toleransi
yang diijinkan.
Salah satu cara yang sederhana untuk penyelesaian perkiraan atau dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai x sembarang kemudian dievaluasi apakah nilai f (x) = 0, jika nilai x tidak sama dengan nol lalu dicoba nilai x yang lain, cara ini diulang terus menerus hingga didapat nilai f (x) = 0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar dari persamaan yang diselesaikan.
Tapi cara itu tidak efektif, oleh karena itu metode numeric memberikan materi materi mencari akar –akar persamaan dengan metode-metode tertentu.
Ada beberapa metode , yaitu:
- Metode setengah intervai atau bisection
- Metode interpolasi linear
- Metode Newton rhapson
- Metode secant
TUJUAN
Tujuan dari metode-metode tersebut adalah untuk mencari akar-akar persamaan secara benar dan sesuai metode sehingga mencapai hasil yang eksak.
WAKTU PENGERJAAN
Untuk mengerjakan tugas mata kuliah metode numeric ini kami sekelompok mengerjakan sesuai dengan kemampuan dan sesuai jam yang sudah kita sepakati yaitu dalam sela-sela waktu kuliah dengan bertahap- tahap.
Dari mencoba untuk menjalankan nya pada boerland c++ .
Dari software tersebut kita memilih boerland , kenapa ??? karena kita suda pernah mendapatkan materi-materi sebelumnya pada semester 2 yaitu pada mata kuliah pemograman terstruktur . meskipun tidak sepenuhnya mahir dalam boerland, kita terus mencobanya sampai bisa. Dalam menuliskan sebuah program ini saya mengalami beberapa kesuliatan salah satunya adalah dalam pembatasan nilai angka di belakang koma.
BAB II
LANDASAN TEORI
Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
METODE BISECTION
Metode ini merupakan bentuk yang paling sederhana diantara metode-metode numerik
lainnya dalam menyelesaikan akar-akar persamaan.
Langkah-langkah yang dilakukan pada penyelesaian persamaan dengan metode ini
adalah sebagai berikut:
1) Hitung fungsi pada interval yang sama dari x hingga ada perubahan tanda dari
fungsi f (xi) dan f (xi + 1), yaitu bila f (xi) × f (xi + 1) < 0.
2) Perkiraan pertama dari akar xt dihitung dari rerata nilai xi dan xi + 1:
Xt = xi +( xi+1)/2
3) Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub-interval mana akar
persamaan berada:
a) jika f (xi) × f (xt) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, lalu
tetapkan xi + 1 = xt dan teruskan pada langkah ke 4.
b) jika f (xi) × f (xt) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, lalu
tetapkan nilai xi = xt dan teruskan pada langkah ke 4.
c) jika f (xi) × f (xt) = 0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai.
4) Hitung perkiraan baru dari akar dengan menggunakan persamaan (3.1).
5) Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan),maka hitungan selesai dan xt adalah akar persamaan yang dicari, jika belum makahitungan kembali ke langkah 3.
.
METODE INTERPOLASI LINEAR
Interpolasi linear merupakan interpolasi paling sederhana dengan mengasumsikan bahwahubungan titik-titik antara dua titik data adalah linear. Karena itu digunakan pen-dekatan fungsi linear antara dua titik data.
Metode ini dikenal juga dengan metode false position, metode ini ada untuk menutupi
kekurangan pada metode setengah interval yang mudah tetapi tidak efisien (untukmendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi cukup
panjang). Dengan metode ini nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh
daripada dengan metode setengah interval, metode ini didasarkan pada interpolasi
antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan.
Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval Δx, yang sama hingga didapat dua
nilai fungsi f (xi) dan f (xi + 1) berurutan dengan tanda berlawanan (Gambar 3.3). Kedua
nilai fungsi tersebut ditarik garis lurus hingga terbentuk suatu segitiga, dengan
menggunakan sifat segitiga sebangun didapat persamaan berikut:
Nilai fungsi untuk setiap interval Δx, digunakan untuk menghitung nilai fungsi f (x∗)
yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f (xi) atau f (xi + 1)
sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda, prosedur ini diulang
sampai nilai f (x∗) yang didapat mendekati nol.
METODE NEWTON RHAPSON
Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan, jika
perkiraan awal dari akar adalah xi, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi,
f (xi)). Titik dari garis singgung tersebut memotong sumbu-x, biasanya memberikan
perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
Pada Gambar 3.4, nampak bahwa turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan
kemiringan, yaitu:
f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian:
- Tentukan Turunan pertama dari persamaan tersebut
- Dengan menggunakan rumus persamaan
- Langkah berikutnya nilai x2 = 3, tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi
berikutnya.
- Hitungan di lanjutkan sampai hasil yang di inginkan.
METODE SECANT
Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama
(diferensial) dari f (x) dalam hitungan, mungkin sulit untuk mencari turunan dari
persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan
berdasarkan diferensial beda hingga garis singgung di titik xi didekati oleh bentuk
Apabila disubstitusikan ke dalam persamaan maka didapat:
Pada metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x, yang digunakan untuk
memperkirakan kemiringan dari fungsi.
BAB III
METODELOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian adalah peraturan , kegiatan dan prosedur untuk suatu penelitian serta untuk mendapatkan data sesuai tujuan.
Metode pengumpulan data
Untuk kali ini kami mengumpulkan data yang kami inginkan yaitu membuat program mencari akar akar persamaan dengan menggunakan metode library
Metode library sendiri adalah metode pengumpulan data dengan cara mengumpulkan data dengan membaca , melakukan , mencari baik offline maupun online. Tetapi yang banyak kami gunakan adalah secara online yaitu browsing untuk memantappkan pekerjaan kami. Dengan mereview ulang catatan-catatan kami yang ada sangat membantu kami untuk menyelesaikan tugas besar ini.
BAB IV
PEMBAHASAN
Ada beberapa cara / metode menentukan akar- akar persamaan :
- Metode bisection
- Metode inter polasi linear
- Metode newton rhapson
- Metode secant
Dalam bab ini yang aka kami bahas pertama adalah program metode bisection.
1. Metode Bisection
- Pertama yang kami lakukan adalah membuka program Borland C++ disini kami menggunakan Borland C++ versi 5.02.
Setelah itu pada menu bar pilih file – text edit
- Setelah itu akan muncul lembar deja yang kosong seperti gambar di bawah ini :
- Hal pertama untuk menulis sebuah program pada Borland c++ ini adalah menuliskan file hearder yang akan kita pakai, file hearder yang saya pakai di sini adalah iostream dan conio. Adapun cara penulisanya seperti di bawah ini:
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
- Setelah itu kami membuat sebuah fungsi untung menghitung nilai Xt dan nilia Fx.
Disini kami memakai float sebagai tipe data, karen float adalah tipe data untuk sebuah nilai yang berbentuk koma.
//fungsi untuk menghitung nilai fx
float fx (float a,float b,float c,float d,float x)
{
float fx;
fx=(a*x*x*x) + (b*x*x) + (c*x) + (d);
return (fx);
}
//fungsi untuk menghitung nilai xt
float xx (float x1,float x2)
{
float xx;
xx=(x1+x2)/2;
return (xx);
}
- Setelah itu kami menulisakan sebuah source code untuk menyelesaikan sebuah masalah diatas.
main()
{
// pendeklarasian
float a,b,c,d,x1,x2,xt,fx1,fx2,fxt,z;
int i;
cout<<“Program untuk menghitung akar – akar persamaan dengan metode bisection”<<endl;
cout<<” Bentuk Fungsi : ax^3 + bx^2 + cx + d”<<endl<<endl;
// input untuk fungsi
cout<<“inputkan nilai a : “; cin>>a;
cout<<“inputkan nilai b : “; cin>>b;
cout<<“inputkan nilai c : “; cin>>c;
cout<<“inputkan nilai d : “; cin>>d;
cout<<endl<<“Bentuk soal yang anda inputkan adalah “;
cout<<a<<“x^3 + “<<b<<“x^2 + “<<c<<“x + “<<d<<endl<<endl;
// input untuk nilai x1 dan x2
cout<<“inputkan nilai x1 : “; cin>>x1;
cout<<“inputkan nilai x2 : “; cin>>x2;
cout<<endl;
cout<<“========================================================”<<endl;
cout<<“i “<<“x1 “<<“x2 “<<“xt “<<“fx1 “<<“fx2 “<<“fxt “<<endl;
cout<<“========================================================”<<endl;
// perulangan untuk menemukan akar – akar persamaan
for (i=1;i<=1000;i++)
{
// proses perhitunggan xt, fx1, fx2, fxt dengan memanggil fungsi yang sudah kita buat di atas
xt=xx(x1,x2);
fx1=fx(a,b,c,d,x1);
fx2=fx(a,b,c,d,x2);
fxt=fx(a,b,c,d,xt);
z=fx1*fxt;
// kondisi untuk menentukan di dalam sub-interval mana akar persamaan berada
if(z!=0)
{
if(z<0)
x2=xt;
if(z>0)
x1=xt;
}
if(z==0)
i=1000000;
cout<<i<<” “<<x1<<” “<<x2<<” “<<xt<<” “<<fx1<<” “<<fx2<<” “<<fxt<<endl;
}
cout<<endl<<“maka akar persamaannya adalah : “<< xt;
getch();
}
- setelah selesai menulis source code untuk menghitung metode bisection diatas selanjutnya kita save terlebih dahulu.
Setelah di save program itu akan kita jalankan, yaitu dengan cara pilih Debug – Run seperti contoh di bawah ini :
- setelah kita Run maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini:
kotak dialog diatas menyuruh kita untuk menginputkan angka untuk persamaan dan nilai x1,x2. Dan jika kita inputkan nilai maka akan mencul hasil akar persamaan dari nilai-nilai yang kita inputkan. Contoh nilai a=1, b=1,c=(-3),d=(-3) dan nilai x1=1,x2=2
dibawah adalah hasilnya;
Kotak dialog diatas adalah kotak dialog mencari akar-akar persamaan sekaligus bukti bahwa program kami bisa dan sukses. Pada kotak dialog diatas sudah tertera bahwa akar persamaan adalah itu. Pada iterasi ke seribu akar persamaan akan dikeluarkan. Karena pada program kami membatasi untuk iterasi pencariannya sampai 1000 iterasi, baru hasil akan di keluarkan.
Dan pada kotak dialog diatas perulangan iterasi dari akar-akar persamaannya kami batasi sampai 50 saja, dan dalam kotak dialog sudah jelas bahwa akar persamaan tersebut hasilnya terlihat pada iterasi ke 18, dan juga secara detai di buktikan oleh kotak dialog tersebut
2. Interpolasi linear
//function menghitung x*
float xtt (float x1,float x2,float fx1,float fx2)
{
float xtt,fx21,x21;
fx21=fx2-fx1;
x21=x2-x1;
xtt= x2 – ((fx2*x21)/fx21);
return (xtt);
//perulangan untuk mengitung nilai nilai fx (…) pada inter polasi linear
for (n=1;n<1000;n++)
{
i=i+1;
fx1=fx(a,b,c,d,x1);
fx2=fx(a,b,c,d,x2);
xt=xtt(x1,x2,fx1,fx2);
fxt=fx(a,b,c,d,xt);
if (fx1 > 0 && fxt > 0)
x1=xt;
else x2=xt;
if (fxt==0) i=i-1;
diatas adalah fungsi dan logika yang ada pada program kami di metode interpolasi linear.Pada fungsi diatas tidak jauh dengan fungsi pada bisection. Dibawah adalah kotak dialog untuk interpolasi linear jika nilai kita inputkan sama dengan nilai pada metode sebelum nya.
Sama halnya pada bisection semua tergantung dengan logika yang di buat. Pada metode selanjutnya yaitu
3. Metode Newton Rhapson
Seperti hal nya metode bisection dan interpolasi metode ini juga menggunakan fungsi-fungsi da logika yang sama seperti fungsi metode sebelimnya
Tapi bedanya pada etode ini hanya menggunakan satu titik acuhan yaitu x1 saja.
- 5. Metode Secant
//proses perhitungan untuk fx_1,fx_2,fx_0dan x_2
do
{
fx_0 = fx (a,b,c,d,x_0);
fx_1 = fx (a,b,c,d,x_1);
if (fx_1 !=0)
if ((x_1-x_0) !=0)
if ((fx_1-fx_0) !=0)
x_2=(x_1 – (fx_1*(x_1-x_0))/(fx_1-fx_0));
fx_2=fx(a,b,c,d,x_2);
i=i+1;
cout<<i<<” “<<x_0<<” “<<x_1<<” “<<x_2<<” “<<fx_0<<” “<<fx_1<<” “<<fx_2<<endl;
//kondisi untuk menentukan dimana su interval akar persamaan berada
x_0=x_1;
x_1=x_2;
}
while (fx_1 != 0 && (x_1-x_0) !=0 && (fx_1-fx_0) !=0);
cout<<endl<<“hasil “<<x_2;
steatement yang berhuruf tebal dan italic diatas adalah steatemen untuk mengeksekusi x_2 sampai x_2 tersebut memenuhi steatement yang sudah ada tersebut.dan perulangan while tersebut akan berproses terus sampai memenuhi steatemen while tersebut yaitu (fx_1 != 0 && (x_1-x_0) !=0 && (fx_1-fx_0) !=0);
BAB V
KESIMPULAN
Dari pembahasan diatas dan dari yang sudah dikerjakan bahwa tugas ini adalah membawa kita untuk mengerti bahwa program apapun dan sesulit apapun jika sudah mengetahui dasar dari program yang akan dibuat serta mengerti bagaimana jalannya logikanya pasti akan bisa meskipun di software program yang berbeda, mungkin hanya penulisan/bahasa pemrograman pada softwarenya berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
– Buku catatan (yang sudah diajarkan pada mata kuliah metode numerik)
– Buku catatan pemrograman terstruktur 1
– Buku module praktikum pemrograman terstruktur
– PDF metode numeric yang sudah diberikan
– http://fiyaphyong.blogspot.com/2010/03/metode-numeric-penerapan-metode.html
– http://www.scribd.com/doc/75874406/ANALISIS-ALGORITMA
– (fx_1 != 0 && (x_1-x_0) !=0 && (fx_1-fx_0) !=0);
LAPORAN TUGAS METODE NUMERIK
“MENCARI AKAR PERSAMAAN
”
NAMA KELOMPOK :
- 1. MAMBAUL ULUM (10410200075)
- 2. RISKI ABADI (10410200069)
- 3. M.FAIZIN ADANI (10410200066)
- 4. IMAM FAUZI (10410200065)
1275k7 